martes, 25 de octubre de 2011

SUPERFICIES CUADRATICAS

DEFINICIÓN:


Una cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio (x,y,z) que verifican una ecuación de segundo grado del tipo
La ecuación de una cuádrica se puede escribir en forma matricial como
donde
Denotaremos por  la matriz que define la cuádrica y por A00 la matriz adjunta del elemento a00 en A.






CLASIFICACIÓN DE LAS CUADRICAS











 det A00 ¹0











s = 3
det A > 0       Elipsoide Real
det A < 0      Elipsoide Imaginario
det A = 0       Cono Imaginario
s = 1
det A > 0       Hiperboloide Hiperbólico
det A < 0      Hiperboloide Elíptico
det A = 0       Cono Real











det A00 = 0











det A¹0
 J > 0      Paraboloide Elíptico
 J < 0      Paraboloide Hiperbólico
det A = 0
 J > 0
 K'¹ 0 , signo K' = signo I Cilindro elíptico imaginario
 K' ¹ 0 , signo K' ¹ signo I     Cilindro elíptico real
 K' = 0         Par de planos imaginarios secantes
 J < 0
 K' ¹ 0    Cilindro hiperbólico
 K' = 0      Par de planos reales secantes
 J = 0










 I ¹ 0
 K' ¹ 0    Cilindro Parabólico
 K' = 0, J' > 0   Par de planos imaginarios paralelos distintos
 K' = 0, J' < 0   Par de planos reales paralelos distintos
 K' = 0, J' = 0   Par de planos coincidentes


CENTRO
Plano polar:  Dado un punto P = (x0,y0,z0ΠIR3  se define el plano polar  de P respecto a la cuádrica de matriz A como el plano de ecuación 
Si P pertenece a la cuádrica, entonces el plano polar de P coincide con el plano tangente a dicha superficie en P.
No todos los puntos poseen plano polar. La condición para que un punto (x, y, zno lo tenga es que verifique el sistema de ecuaciones

que geométricamente se interpreta como la intersección de tres planos.


Así, se tiene:
  • Cuadricas con centro: elipsoideshiperboloides y conos.
  • Cuadricas con eje de centros: cilindros elípticos e hiperbólicos y pares de planos secantes.
  • Cuadricas con plano de centros: pares de planos paralelos o coincidentes.
  • El resto de la cuadricas no poseen centro: (lo tiene en el infinito): paraboloides y cilindros parabólicos.
El centro es un punto de simetría de la cuádrica, el eje y el plano de centros son a su vez eje y plano de simetría.


EJEMPLO
Consideremos la cuádrica de ecuación

Esta cuádrica es un elipsoide (véase la tabla de clasificación). El plano polar por el punto (2, 1, 3) es el plano de ecuación

que corta a la superficie (nótese que (2, 1, 3) es exterior a la superficie como se ve en la figura siguiente).

El centro de la cuádrica es la solución del sistema de ecuaciones

que en este caso resulta ser el origen de coordenadas.
En las figuras siguientes vemos los planos polares en  los puntos (0, 1, 1/2)  y (0, 2, 0):

En el primer caso el punto es interior a la superficie y  el plano polar es exterior a la misma, mientras que en el segundo caso el punto e stá sobre el elipsoide y el plano polar coincide con el plano tangente a la superficie en dicho punto.
ECUACIÓN REDUCIDA
La ecuación reducida de una cuádrica es aquella ecuación simplificada que representa la superficie con su centro (si lo tiene) situado en el origen de coordenadas mientras que  los ejes coordenados tienen relaciones particulares con la cuádrica.


  • Elipsoideshiperboloides y conos:

    donde

    elipsoide
    hiperboloide hiperbólico
    hiperboloide elíptico
    cono
  • Paraboloides:

    donde

    paraboloide elíptico
    paraboloide hiperbólico
  • Cilindro elíptico e hiperbólico y pares de  planos secantes:

              donde

    cilindro elíptico
    cilindro hiperbólico
    par de planos secantes
  • Cilindro parabólico:

              donde
    cilindro parabólico
  • Pares de planos paralelos:

               donde

    par de planos paralelos

Hiperboloide hiperbólico

Un ejemplo real  
Ecuación reducida:

La cuádrica tiene signatura 1 y los autovalores de la matriz A00 son dos positivos y uno negativo.
Los cortes del hiperboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas (en lo siguiente se supone que el hiperboloide esta centrado en el origen de coordenadas y tiene la pimera de las ecuaciones reducidas dadas arriba):
  • Cortes por planos  z = a
    La curva de corte es una elipse de ecuación 
    donde
    a > 0 )

    a = 0, elipse de garganta )
  • Cortes por planos  x = a
    El corte es la hipérbola de ecuación  
    donde 
    a = 0 )
    a > 0 )
  • Cortes por planos  y = a
    El corte es una hipérbola como la del caso anterior donde los papeles de x e y se han intercambiado.
El hiperboloide hiperbólico puede ser visto también como una superficie de revolución engendrada al girar una hiperbola alrededor del eje de la cuádrica (en el caso de la ecuación reducida que estamos utilizando, el eje z) describiendo una elipse.
Además el hiperboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada puesto que contiene a las dos familias de rectas. Veamoslo, la ecuación del hiperboloide se puede escribir como
Entonces cualquier punto que satisface la ecuación del hiperboloide satisface el siguiente conjunto de ecuaciones para algun valor del parametro.
Cada una de las ecuaciones anteriores representa un plano luego finalmente tenemos un par de rectas contenidas en el hiperboloide.
Hiperboloide elíptico
Un ejemplo real
Ecuación reducida:

(En las figuras anteriores a = b = c)
La cuádrica tiene signatura 1 y los autovalores de la matriz A00 son dos negativos y uno positivo.
Los cortes del hiperboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas (El desarrollo que sigue se ha hecho utilizando la primera de las ecuaciones reducidas)
  • Cortes por planos z = a
    la intersección es una hipérbola de ecuación 
    donde 
  • Corte por planos y = a
    el resultado es análogo al anterior intercambiando los papeles de y y z
  • Cortes por planos x = a
    si |a| > a, entonces la curva intersección resulta ser una elipse de ecuación

    donde 
    x = a > a
    x = -a < -a


    si |a| < a no hay intersección real.

    si |a| = a, entonces la intersección se reduce a un punto y el plano en cuestión es tangente a la superficie.
    a = 0 )
  • A continuación incluimos otros dibujos en los cuales el hiperboloide tiene la segunda ecuación reducida y los parámetros a,b y c son distintos
  • (corte por plano z = a > c)
  • (corte por plano y = a > 0)
  • (corte por plano x = a > 0)


Paraboloide elíptico
Un ejemplo real

Ecuación reducida:


Los cortes del paraboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas, (en lo siguiente se supone que el parabolide tiene la ecuación reducida que se da arriba):
  • Cortes por planos z = a
    si a > 0, entonces la curva intersección resulta ser una elipse de semiejes a y b con ecuación 
    0 )


    si a < 0, entonces no existe intersección.

    si a = 0 la intersección se reduce a un punto, siendo la superficie cuádrica tangente al plano en dicho punto.
    (a < 0)
  • Corte por planos y = a  o por planos x = a  las curvas intersección son las parábolas

    (corte por plano y = a = 0 )

    (corte por plano x = a >0 )


Paraboloide hiperbólico
Un ejemplo real

(Foto cedida por el Prof. D. Juan M. Báez Mezquita)
Ecuación reducida:

En lo que sigue utilizaremos la primera de las ecuaciones reducidas.

El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada por las familias de rectas:
 
Los cortes del paraboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas:
  • Cortes por planos z = a
    si a ¹ 0, entonces la curva intersección es una hipérbola de ecuación 
    (a > 0)
    (a < 0)

    si a = 0, entonces la intersección es un par de rectas que se cortan en el origen de coordenadas
    (a = 0)
  • Cortes por planos y = a o por planos x = a

    las curvas intersección son las parábolas   y    respectivamente.
    ( y = a = 0)

    ( x = a = 0 )

A continuación presentamos figuras donde se ha cortado el paraboloide hiperbólico por plano oblicuos no paralelos a los coordenados

BIBLIOGRAFIAS